Высота правильной треугольной пирамиды равна 8, а высота боковой грани , проведённая к ребру основания...

Чтобы найти косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды, начнем с анализа задачи.

Дано:

1. Высота пирамиды ( h = 8 ) — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
2. Высота боковой грани, проведённая к ребру основания, равна ( h_1 = 10 ).
3. Пирамида правильная, следовательно, основание — равносторонний треугольник, а боковые грани — равнобедренные треугольники.

Необходимо найти косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания.

Шаг 1: Введение обозначений

1. Пусть основание правильной треугольной пирамиды — это равносторонний треугольник со стороной ( a ).
2. Центр треугольника основания обозначим как ( O ). Это точка пересечения медиан треугольника.
3. Вершина пирамиды — это точка ( S ), а высота пирамиды ( h = SO ).
4. Рассмотрим одну из боковых граней пирамиды. Пусть эта грань — ( SAB ), где ( A ) и ( B ) — две вершины основания треугольника.
5. Высота боковой грани ( h_1 = 10 ) опущена из вершины ( S ) на ребро ( AB ).

Шаг 2: Найдём сторону основания ( a )

В правильной треугольной пирамиде высота ( SO ) падает в центр основания, который одновременно является центром описанной окружности равностороннего треугольника. Радиус описанной окружности равен:

[ R = \frac{a \sqrt{3}}{3}, ]

где ( a ) — сторона треугольника основания.

Так как ( SO = h = 8 ), а ( SO ) — перпендикуляр к плоскости основания, то можно использовать прямоугольный треугольник ( SAO ) (где ( S ) — вершина пирамиды, ( O ) — центр основания, ( A ) — вершина основания). В этом треугольнике гипотенуза ( SA ) равна длине бокового ребра пирамиды, а катеты — ( SO = 8 ) и ( AO = R = \frac{a \sqrt{3}}{3} ).

Также высота боковой грани ( h_1 = 10 ) опускается из вершины ( S ) на середину ребра ( AB ). В равностороннем треугольнике середина ребра делит его пополам, то есть отрезок, на который упала высота, равен ( \frac{a}{2} ). Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой боковой грани, половиной стороны основания и боковым ребром ( SA ):

[ h_1^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = SA^2. ]

Подставим ( h_1 = 10 ):

[ 10^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = SA^2. ]

[ 100 + \frac{a^2}{4} = SA^2. \tag{1} ]

С другой стороны, в треугольнике ( SAO ):

[ SO^2 + AO^2 = SA^2, ]

где ( SO = 8 ), а ( AO = \frac{a \sqrt{3}}{3} ). Подставим:

[ 8^2 + \left(\frac{a \sqrt{3}}{3}\right)^2 = SA^2. ]

[ 64 + \frac{a^2 \cdot 3}{9} = SA^2. ]

[ 64 + \frac{a^2}{3} = SA^2. \tag{2} ]

Теперь у нас есть два выражения для ( SA^2 ): уравнение (1) и уравнение (2). Приравняем их:

[ 100 + \frac{a^2}{4} = 64 + \frac{a^2}{3}. ]

Уберём числа в одну сторону, а дроби приведём к общему знаменателю:

[ 100 - 64 = \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{4}. ]

[ 36 = \frac{4a^2 - 3a^2}{12}. ]

[ 36 = \frac{a^2}{12}. ]

[ a^2 = 36 \cdot 12 = 432. ]

[ a = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}. ]

Шаг 3: Найдём косинус угла между боковой гранью и основанием

Угол между боковой гранью и основанием равен углу между высотой боковой грани ( h_1 ) и высотой пирамиды ( h ). Чтобы найти косинус этого угла, используем определение:

[ \cos \alpha = \frac{h}{h_1}. ]

Подставим значения ( h = 8 ) и ( h_1 = 10 ):

[ \cos \alpha = \frac{8}{10} = 0,8. ]

Ответ:

Косинус угла между боковой гранью и основанием равен ( \boxed{0,8} ).

Для нахождения косинуса угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды, можно воспользоваться определением косинуса через длины сторон.

Обозначим:

• ( h = 8 ) — высота пирамиды,
• ( h_b = 10 ) — высота боковой грани, проведённая к ребру основания.

Косинус угла между боковой гранью и основанием можно найти по формуле:

[ \cos \alpha = \frac{h}{h_b} ]

Подставим значения:

[ \cos \alpha = \frac{8}{10} = 0.8 ]

Таким образом, косинус угла между боковой гранью и основанием пирамиды равен ( 0.8 ).

Для решения задачи найдем косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды.

Обозначим:

• (h = 8) — высота пирамиды,
• (h_b = 10) — высота боковой грани, проведённая к ребру основания.

Пусть (O) — вершина пирамиды, а (ABC) — основание, представляющее собой правильный треугольник. Обозначим (M) — середину стороны (AB) (одной из сторон основания). В этом случае, высота боковой грани (OAB) проведённая к ребру (AB) будет перпендикулярна к (AB) и пересекаться с ним в точке (N).

Теперь рассмотрим треугольник (OMN):

• (OM) — это высота правильного треугольника (ABC) и равна (h = 8),
• (ON) — это высота боковой грани (OAB) и равна (h_b = 10).

Мы можем найти угол между боковой грани и основанием, используя косинус. Для этого рассмотрим треугольник (OMN).

В этом треугольнике:

• (OM) — одна из сторон (высота основания),
• (ON) — другая сторона (высота боковой грани),
• (MN) — основание (горизонтальное расстояние между точками (M) и (N)).

По определению косинуса угла ( \alpha ) между высотой боковой грани и основанием пирамиды можно записать: [ \cos(\alpha) = \frac{OM}{ON} = \frac{h}{h_b}. ]

Подставляем известные значения: [ \cos(\alpha) = \frac{h}{h_b} = \frac{8}{10} = 0.8. ]

Таким образом, косинус угла между боковой гранью и основанием пирамиды равен (0.8).