Высота правильной треугольной пирамиды равна а(корень из 3), радиус окружности, описанной около ее основания,...

Для начала определим некоторые элементы правильной треугольной пирамиды (тетраэдра), чтобы решить задачу.

а) Нахождение апофемы пирамиды: Апофема пирамиды — это отрезок, проведенный от вершины пирамиды к середине одной из сторон основания, перпендикулярно этой стороне. В правильной треугольной пирамиде апофема также является высотой боковой грани.

Для начала найдем длину стороны основания пирамиды. Так как радиус описанной около основания окружности равен (2a), то сторона основания ( s ) правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности как ( s = 2R\sqrt{3} ), где ( R ) — радиус описанной около основания окружности. Таким образом, ( s = 2a\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6a ).

Теперь найдем апофему. В боковой грани, которая является равнобедренным треугольником, апофема будет высотой. Высоту можно найти по теореме Пифагора из треугольника, где гипотенуза — это ребро пирамиды (обозначим его ( l )), один катет — апофема (обозначим её ( h )) и второй катет — это половина основания (( \frac{s}{2} = 3a )). Высота пирамиды (обозначим её ( H )) соединяет вершину с центром основания и равна ( a\sqrt{3} ).

Из вершины до центра основания ( H = a\sqrt{3} ) и от центра до середины стороны ( \frac{s}{2} = 3a ), по теореме Пифагора: [ l^2 = H^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = (a\sqrt{3})^2 + (3a)^2 = 3a^2 + 9a^2 = 12a^2 ] [ l = a\sqrt{12} = 2a\sqrt{3} ] И снова по Пифагору находим апофему: [ h^2 = l^2 - \left(\frac{s}{2}\right)^2 = (2a\sqrt{3})^2 - (3a)^2 = 12a^2 - 9a^2 = 3a^2 ] [ h = a\sqrt{3} ]

б) Угол между боковой гранью и основанием: Это угол между апофемой и плоскостью основания. В треугольнике, где апофема — высота, ( \frac{s}{2} = 3a ) — прилежащий к углу катет, а апофема ( a\sqrt{3} ) — противолежащий катет. Тангенс угла ( \theta ) между апофемой и основанием: [ \tan(\theta) = \frac{a\sqrt{3}}{3a} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} ] [ \theta = 30^\circ ]

в) Площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех трех боковых граней. Площадь одной боковой грани (равнобедренный треугольник): [ S{\text{грани}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 6a \cdot a\sqrt{3} = 3a^2\sqrt{3} ] Площадь всей боковой поверхности (три грани): [ S{\text{бок}} = 3 \cdot 3a^2\sqrt{3} = 9a^2\sqrt{3} ]

Итак, апофема пирамиды ( a\sqrt{3} ), угол между боковой гранью и основанием ( 30^\circ ), площадь боковой поверхности ( 9a^2\sqrt{3} ).

а) Апофема пирамиды равна половине диагонали основания, т.е. равна 2а. б) Угол между боковой гранью и основанием можно найти, используя тангенс данного угла, который равен отношению высоты к половине основания. Таким образом, тангенс угла равен (asqrt(3))/(2a) = sqrt(3)/2. Из этого следует, что угол между боковой гранью и основанием равен 30 градусов. в) Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле S = 1/2 периметр основания апофема. Периметр основания треугольника равен 3a, апофема равна 2а. Таким образом, площадь боковой поверхности равна 3a 2a / 2 = 3a^2.