Высота правильной треугольной пирамиды в два раза меньше стороны основания. Найдтие угол между боковой...

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться геометрическими свойствами правильной треугольной пирамиды.

Пусть сторона основания пирамиды равна a, тогда высота h = a/2 (по условию задачи).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой гранью пирамиды, её половиной высоты и радиус-вектором, проведённым от центра основания пирамиды до середины стороны основания. Этот треугольник является прямоугольным, так как основание и высота пирамиды перпендикулярны.

Пусть угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания равен α. Тогда tg(α) = h / (a/2) = 2h / a = 2(a/2) / a = 1.

Следовательно, угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания равен 45 градусов.

Чтобы найти угол между боковой гранью правильной треугольной пирамиды и плоскостью основания, нам нужно рассмотреть геометрические свойства правильной треугольной пирамиды.

1. Основные элементы пирамиды:

   • Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной ( a ).
   • Высота пирамиды ( h ) равна ( \frac{a}{2} ).
   • Боковые грани пирамиды — равнобедренные треугольники.

2. Центр основания:

   • Центр правильного треугольника — это точка пересечения медиан, и он совпадает с центром вписанной окружности.
   • В правильном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают. Высота ( H ) из вершины пирамиды на основание будет проходить через центр основания.

3. Выражение высоты боковой грани:

   • Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды и медианой основания. Медиана в правильном треугольнике делит его на два прямоугольных треугольника, и её длина равна ( \frac{\sqrt{3}}{2}a ).
   • Если ( S ) — вершина пирамиды, а ( O ) — центр основания, то ( SO = h = \frac{a}{2} ).

4. Угол между боковой гранью и плоскостью основания:

   • Рассмотрим треугольник ( SOB ), где ( B ) — вершина основания. В этом треугольнике:
     • ( SB ) — апофема пирамиды, равна боковой высоте треугольника, и её можно найти через теорему Пифагора: [ SB = \sqrt{SO^2 + OB^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2}. ]
   • Теперь найдём угол ( \theta ) между боковой гранью и плоскостью основания. Это угол между ( SO ) и плоскостью основания. Угол между высотой пирамиды и апофемой (боковой гранью) определяется как: [ \cos \theta = \frac{SO}{SB} = \frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2}}. ]

5. Вычисление:

   • Подставляя значения, получаем: [ \cos \theta = \frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{3}}} = \frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{3a^2 + 4a^2}{12}}} = \frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{7a^2}{12}}}. ]
   • Упрощаем: [ \cos \theta = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{7}a}{\sqrt{12}}} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{7}a}{2\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}. ]

6. Результат:

   • Угол ( \theta ) между боковой гранью и плоскостью основания определяется как: [ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right). ]

Таким образом, угол между боковой гранью правильной треугольной пирамиды и плоскостью основания равен (\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right)).