Высота проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит её в отношении 9:16. Меньший катет...

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и отношением высоты, проведенной к гипотенузе. Пусть гипотенуза $c$ делится высотой на два отрезка в отношении 9:16. Обозначим эти отрезки как $x$ и $y$, где $x:y=9:16$. Это означает, что $x=\frac{9}{25}c$ и $y=\frac{16}{25}c$.

В прямоугольном треугольнике, высота, проведенная к гипотенузе, $h$, связана с отрезками, на которые она делит гипотенузу, следующим соотношением:

$h^2=x\cdot y$

Подставим выражения для $x$ и $y$:

$h^2=\left(\frac{9}{25}c\right)\left(\frac{16}{25}c\right)=\frac{144}{625}{c}^2$

Таким образом,

$h=\frac{12}{25}c$

Теперь используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы $c$. Зная, что меньший катет равен 45 см, обозначим другой катет $b$. Тогда:

${45}^2+b^2=c^2$

Площадь треугольника может быть найдена через формулу:

$\text{Площадь}=\frac{1}{2}\cdot \text{основание}\cdot \text{высота}=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h$

Подставим значение высоты:

$\text{Площадь}=\frac{1}{2}\cdot c\cdot \frac{12}{25}c=\frac{6}{25}{c}^2$

Теперь вернемся к уравнению Пифагора. Мы знаем, что:

$h=\frac{12}{25}c$

Также, $h=\frac{ab}{c}$, где $a=45$ — меньший катет. Подставим это в выражение:

$\frac{12}{25}c=\frac{45b}{c}$

После умножения обеих частей на $c$ и упрощения, получаем:

$\frac{12}{25}{c}^2=45b$

Теперь выразим $c^2$ через $b$:

$c^2=\frac{25}{12}\cdot 45b$

Теперь подставим это в формулу площади:

$\text{Площадь}=\frac{6}{25}\cdot \frac{25}{12}\cdot 45b=\frac{6}{12}\cdot 45b=\frac{1}{2}\cdot 45b$

Мы видим, что $\text{Площадь}=\frac{1}{2}\cdot 45\cdot b$, но $b=\frac{12}{25}\cdot c$, и $c=\sqrt{{45}^2+b^2}$.

Решая систему уравнений, мы можем найти $b$ и $c$, но вычисления становятся сложными, если делать это без калькулятора.

В данном случае, чтобы найти площадь, лучше воспользоваться соотношением высоты и отрезков гипотенузы, которое мы уже использовали, чтобы убедиться, что подход корректен и площадь треугольника можно выразить через известные величины. В этом случае, при более точных вычислениях, площадь должна свестись к конкретной числовой величине в см², но без дополнительных упрощений и точных расчётов этот метод показывает, как взаимосвязаны элементы треугольника.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами подобных треугольников. Пусть высота, проведенная к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 9х и 16х, где x - коэффициент пропорциональности. Таким образом, длина гипотенузы будет равна 25х.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника имеем: ${45}^2+(16x$^2 = $9x$^2)

$2025+256x^2=81x^2$

$175x^2=2025$

$x^2=11.57$

$x\approx 3.4$

Таким образом, длина гипотенузы равна $25\ast 3.4=85$ см.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: $S=\frac{ab}{2}$, где a и b - катеты треугольника.

Подставляем значения: $S=\frac{45\ast 85}{2}=1912.5$ см²

Ответ: площадь треугольника равна 1912.5 см².