Высота проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит её в отношении 9:16. Меньший катет...

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и отношением высоты, проведенной к гипотенузе. Пусть гипотенуза ( c ) делится высотой на два отрезка в отношении 9:16. Обозначим эти отрезки как ( x ) и ( y ), где ( x : y = 9 : 16 ). Это означает, что ( x = \frac{9}{25}c ) и ( y = \frac{16}{25}c ).

В прямоугольном треугольнике, высота, проведенная к гипотенузе, ( h ), связана с отрезками, на которые она делит гипотенузу, следующим соотношением:

[ h^2 = x \cdot y ]

Подставим выражения для ( x ) и ( y ):

[ h^2 = \left(\frac{9}{25}c\right) \left(\frac{16}{25}c\right) = \frac{144}{625}c^2 ]

Таким образом,

[ h = \frac{12}{25}c ]

Теперь используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы ( c ). Зная, что меньший катет равен 45 см, обозначим другой катет ( b ). Тогда:

[ 45^2 + b^2 = c^2 ]

Площадь треугольника может быть найдена через формулу:

[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h ]

Подставим значение высоты:

[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{12}{25}c = \frac{6}{25}c^2 ]

Теперь вернемся к уравнению Пифагора. Мы знаем, что:

[ h = \frac{12}{25}c ]

Также, ( h = \frac{ab}{c} ), где ( a = 45 ) — меньший катет. Подставим это в выражение:

[ \frac{12}{25}c = \frac{45b}{c} ]

После умножения обеих частей на ( c ) и упрощения, получаем:

[ \frac{12}{25}c^2 = 45b ]

Теперь выразим ( c^2 ) через ( b ):

[ c^2 = \frac{25}{12} \cdot 45b ]

Теперь подставим это в формулу площади:

[ \text{Площадь} = \frac{6}{25} \cdot \frac{25}{12} \cdot 45b = \frac{6}{12} \cdot 45b = \frac{1}{2} \cdot 45b ]

Мы видим, что ( \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot b ), но ( b = \frac{12}{25} \cdot c ), и ( c = \sqrt{45^2 + b^2} ).

Решая систему уравнений, мы можем найти ( b ) и ( c ), но вычисления становятся сложными, если делать это без калькулятора.

В данном случае, чтобы найти площадь, лучше воспользоваться соотношением высоты и отрезков гипотенузы, которое мы уже использовали, чтобы убедиться, что подход корректен и площадь треугольника можно выразить через известные величины. В этом случае, при более точных вычислениях, площадь должна свестись к конкретной числовой величине в см², но без дополнительных упрощений и точных расчётов этот метод показывает, как взаимосвязаны элементы треугольника.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами подобных треугольников. Пусть высота, проведенная к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 9х и 16х, где x - коэффициент пропорциональности. Таким образом, длина гипотенузы будет равна 25х.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника имеем: (45^2 + (16x)^2 = (9x)^2)

(2025 + 256x^2 = 81x^2)

(175x^2 = 2025)

(x^2 = 11.57)

(x ≈ 3.4)

Таким образом, длина гипотенузы равна (25 * 3.4 = 85) см.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: (S = \frac{ab}{2}), где a и b - катеты треугольника.

Подставляем значения: (S = \frac{45 * 85}{2} = 1912.5) см²

Ответ: площадь треугольника равна 1912.5 см².