Высота равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь деленную на корень из 3 деленную на...

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} ]

где ( a ) — длина стороны треугольника. Высота ( h ) равностороннего треугольника связана с длиной стороны формулой:

[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} ]

Если высота равна 10, то:

[ 10 = \frac{a \sqrt{3}}{2} ]

Отсюда:

[ a = \frac{20}{\sqrt{3}} ]

Теперь подставим это значение в формулу для площади:

[ S = \frac{\left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{400/3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{3} ]

Теперь найдем значение площади, деленное на ( \frac{\sqrt{3}}{3} ):

[ \frac{S}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{100\sqrt{3}/3}{\sqrt{3}/3} = 100 ]

Ответ: 100.

Чтобы найти площадь равностороннего треугольника и выполнить указанное деление, давайте разберем задачу по шагам.

Дано:

• Высота равностороннего треугольника ( h = 10 ).

Нужно найти:

• Площадь треугольника, делённую на ( \frac{\sqrt{3}}{3} ).

1. Связь высоты и стороны равностороннего треугольника

Высота ( h ) равностороннего треугольника выражается через его сторону ( a ) следующим образом: [ h = \frac{\sqrt{3}}{2} a. ] Подставляем ( h = 10 ): [ 10 = \frac{\sqrt{3}}{2} a. ] Чтобы найти сторону ( a ), умножим обе части на ( 2 ) и разделим на ( \sqrt{3} ): [ a = \frac{2 \cdot 10}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}}. ]

2. Площадь равностороннего треугольника

Формула площади для равностороннего треугольника через сторону ( a ): [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2. ] Подставляем ( a = \frac{20}{\sqrt{3}} ): [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{20}{\sqrt{3}} \right)^2. ] Сначала вычислим ( \left( \frac{20}{\sqrt{3}} \right)^2 ): [ \left( \frac{20}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{20^2}{(\sqrt{3})^2} = \frac{400}{3}. ] Теперь подставим это в формулу для площади: [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{400}{3}. ] Упростим: [ S = \frac{\sqrt{3} \cdot 400}{4 \cdot 3} = \frac{400 \sqrt{3}}{12}. ] Сократим: [ S = \frac{100 \sqrt{3}}{3}. ]

3. Площадь, делённая на ( \frac{\sqrt{3}}{3} )

Теперь разделим площадь ( S = \frac{100 \sqrt{3}}{3} ) на ( \frac{\sqrt{3}}{3} ). Чтобы разделить, умножим на обратное значение: [ \frac{S}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{100 \sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{100 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}. ] Сократим ( \sqrt{3} ) и ( 3 ): [ \frac{S}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 100. ]

Ответ:

Результат равен 100.

Для начала найдём площадь равностороннего треугольника, используя его высоту. В равностороннем треугольнике высота ( h ) и сторона ( a ) связаны следующим образом:

[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} a ]

В данном случае высота равностороннего треугольника равна 10:

[ 10 = \frac{\sqrt{3}}{2} a ]

Теперь выразим сторону ( a ):

[ a = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20 \sqrt{3}}{3} ]

Теперь мы можем найти площадь ( S ) равностороннего треугольника по формуле:

[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ]

Подставим значение ( a ):

[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{20 \sqrt{3}}{3}\right)^2 ]

Выразим ( a^2 ):

[ a^2 = \left(\frac{20 \sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{400 \cdot 3}{9} = \frac{1200}{9} = \frac{400}{3} ]

Теперь подставим это значение в формулу для площади:

[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{400}{3} ]

Упрощаем:

[ S = \frac{400 \sqrt{3}}{12} = \frac{100 \sqrt{3}}{3} ]

Теперь найдем значение площади, делённой на ( \frac{\sqrt{3}}{3} ):

[ \frac{S}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = S \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = S \cdot \sqrt{3} ]

Подставим найденное значение площади:

[ \frac{S}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{100 \sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{100 \cdot 3}{3} = 100 ]

Таким образом, площадь равностороннего треугольника, делённая на ( \frac{\sqrt{3}}{3} ), равна 100.